Вывод уравнения Шредингера для микроскопических и макроскопических систем

Аннотация: Основанные положения квантовой механики (такие, как «волны материи» де Бройля, «принцип неопределенности» Гейзенберга, отсутствие размеров и траектории движения у элементарных частиц, а также история возникновения уравнение Шредингера), до сих пор не достаточно логически обоснованы. Интерес к истокам квантовой механики обусловлен еще тем, что передовые рубежи науки в области изучения структурной организации материи - струнные теории, базирующиеся на квантовой механике, находятся в практически непреодолимых (на мой взгляд) затруднениях. Это заставляет вернуться к переосмыслению основ квантовой физики.

В нижеизложенной статье предложена модель хаотически блуждающей материальной частицы (обладающей размером и траекторией движения), на основании которой удалось:

- вывести уравнение Шредингера;

- придать постоянной Планка ħ конкретное физическое значение;

- обосновать переход от координатного представления статистической (в т.ч. квантово-механической) системы к ее импульсному представлению без привлечения идеи о существовании «волн материи» де Бройля и «принципа неопределенности» Гейзенберга.

При этом выявлены условия и границы применения обобщённого уравнения Шредингера к описанию явлений, как микромира, так и макромира.

Кроме того, промежуточный результат «определение плотности распределения вероятности производной n-го порядка n раз дифференцируемого, случайного, стационарного марковского процесса» может быть применим во многих областях статистической механики и радиофизики.

Ключевые слова: уравнение Шредингера, электрон, плотность распределения вероятности производной, частица, хаотическая траектория, координатное представление.

1. Уравнение Шредингера и проблемы квантово-механической парадигмы

Одной из основных загадок квантовой механики и, следовательно, всех современных продолжений данной теории, остается тайна появления уравнения Шредингера. Отсутствие логически обоснованного вывода данного исходного уравнения отрицательно влияет на развитие наших представлений о структурной организации материи.

Уравнение Шредингера имеет вид

(1)

где Ψ = Ψ (x,y,z,t) – волновая функция, характеризующая состояние элементарной

частицы;

U (x, y, z) – потенциальная энергия элементарной частицы;

Ψ – постоянная Планка;

m – масса частицы.

Считается, что это уравнение было получено Эрвином Шредингером (1887 – 1961) на основании индуктивных и дедуктивных предпосылок, сложившихся к 1926 году в результате экспериментальных исследований свойств элементарных частиц.

Особое значение в то время имела идея Луи Виктора де Бройля (1892 – 1987) о возможности существования волновых свойств материи. Луи де Бройль, сопоставив прямолинейную траекторию движения свободной частицы и распространение луча света, пришел к выводу, что путь прямолинейно движущейся материальной частицы и луч света описываются одним и тем же уравнением Якоби, вытекающим из фундаментального принципа «экстремума действия». Оказалось, что траектория движения свободной частицы и луч света являются экстремалями практически одного и того же функционала действия. Данное обстоятельство натолкнуло Луи де Бройля на мысль, что если волне, описываемой уравнением

w = exp{i(V t – kr)}, (2)

где V и k – частота и волновой вектор электромагнитной волны;

t – время;

r – вектор, задающий направление ее распространения,

присущи некие свойства частицы - фотона (т. е. корпускулярные свойства), то вполне возможно существование симметрии, т. е. движущейся материальной частице может соответствовать некая плоская волна материи

Ψ = exp{i(Et – pr)/ħ}, (3)

где Е – кинетическая энергия движущейся частицы,

р = mv – ее импульс.

Другими словами, Луи де Бройль предположил, что любой движущейся частице можно поставить в соответствие волну с частотой  = E/ и длиной волны  = 2  /p. Эта идея оказалась не только логически красивой, но и продуктивной. В 1929 г.
О. Штерн и И. Эстерман показали, что идея существования волн материи, предложенная де Бройлем, применима для описания явления дифракции атомов на кристаллических решетках кристаллов.

Кроме того, в одной из ранних работ Эрвин Шредингер, критически относясь к статистике Бозе – Эйнштейна, задался вопросом: – «Почему бы не начать с волнового представления частиц газа, а затем наложить на такие «волны» условия квантования «а ля условие Дебая»? После чего следует ключевая идея: – «Это означает не что иное, как необходимость серьезно отнестись к предложенной Л. де Бройлем и А. Эйнштейном волновой теории движущихся частиц».

Следующая статья Шредингера уже содержала уравнение (1), положившее начало квантовой механике, наряду с пионерскими работами Макса Планка, Альберта Эйнштейна, Нильса Бора и Вернера Гейзенберга.

Доводы, приведенные Шредингером при выводе уравнения (1), впоследствии были признаны специалистами неверными, однако само уравнение оказалось верным. Это не единственный случай в науке. Например, основные уравнения электродинамики также были получены Джеймсом Клерком Максвеллом из неверных предположений о механических свойствах эфира.

Значительно позже было установлено, что уравнение Шредингера (1) получается в результате следующей формальной квантово-механической процедуры. Полная механическая энергия Е нерелятивистской частицы в неком потенциальном поле U(r,t) равна

(4)

где р – импульс частицы,

r – вектор, задающий ее местоположение в потенциальном поле,

t – время.

Заменяя в уравнении (4) физические величины на операторы:

 , (5)

где , при подстановке этих операторов в выражение (4) и умножении его справа на  - функцию, получается уравнение Шредингера (1):

 (6)

где  – оператор, получивший название гамильтониана квантовой системы. Аналогичным образом строятся все операторы квантовых теорий.

Данный рецептурный формализм квантовой механики окутывает суть происходящего в микромире интеллектуальным туманом, полностью оторванным от реальности. Численные методы, развитые неопозитивистами, были нацелены не на постижение сути явлений в микромире, а на сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными. Надо выразить им глубокое почтение, ибо они явили торжество человеческой мысли на рубежах между познанным и непознанным. Но неопозитивисты возвели отличие квантовых явлений микромира от свойств наблюдаемой реальности в философский принцип: - «Незнаем, и не узнаем». Это, на мой взгляд, отрицательно повлияло на несколько поколений физиков.

То, что результаты экспериментов по рассеянию элементарных частиц удалось объяснить с помощью волн материи де Бройля – это чудо, т. к. это не результат детального исследования микроскопических процессов рассеяния частиц на атомных кристаллических решетках, а просто феноменальное совпадение экспериментального факта с оригинальной идеей. Как бы там ни было, но именно это совпадение привело к развитию корпускулярно-волнового дуализма и, в итоге, к созданию – квантовой механики.

За девяносто лет, прошедших с 1926 года много исследователей предлагали различные способы вывода уравнений Шредингера. Но, насколько мне известно, не одна из этих попыток не увенчалась успехом. Основы квантовой механики и по сей день вызывают дискуссии в научном сообществе.

Выработанный в Копенгагене еще в начале прошлого века концептуальный подход, выраженный в вероятностной интерпретации волновой функции  (x,y,z,t) и развитый на этом основании квантово-механический формализм практически полностью исключает возможность любого причинного описания явлений микромира. Неопозитивисты, создавшие и возглавившие квантово-механическое движение, настояли на том, что на пикоскопическом (10^–11…10^–13 см) уровне организации материи детерминизм полностью уступает место вероятностному формализму. Любое упоминание о траектории движения элементарных частиц и их размерах выходит за рамки неопозитивистских воззрений, что вначале послужило колоссальному прогрессу в развитии квантовых теорий, а теперь, на мой взгляд, является препятствием на пути развития наших представлений о глубинах мироздания.

Логическая незавершенность основ квантовой механики вызывала душевный дискомфорт практически всех у ее создателей: Макса Планка, Луи де Бройля, Альберта Эйнштейна, Эрвина Шредингера. Все они полагали, что квантовая механика лишь прелюдия перед будущей, верной теорией. Им принципиально возражал лишь Нильс Бор, утверждавший: – «Все согласны, что наша теория безумна. Мы расходимся лишь в одном: достаточно ли она безумна?». Действительно, трудно осознать, что у материальной частицы нет размеров и траектории движения, тем не менее, копенгагенской школе удалось убедить в этом все цивилизованное человечество.

Школа Н. Бора одержала в начале 20-го века «пиррову» победу благодаря блистательной плеяде его учеников и единомышленников: Гейзенберу, Йордану, Борну, Паули, Дираку и многих других их последователей. Это поколение ученых легко «скинуло» с себя ментальный груз детерминистских воззрений. Они без особых душевных терзаний, легко обменяли «здравый смысл» (т.е. наглядную физику) на рецептурный математический формализм. С тех пор последователи копенгагенской школы с переменными успехами пытаются дважды проквантовать все виды взаимодействий, чтобы в итоге рассчитать все компоненты (амплитуды) универсальной S-матрицы. При этом они не особо заботятся о наглядности физических моделей, а цепляются за мощный математический аппарат теории групп.

Развиваемые математиками «струнные» воззрения, несомненно, полезны для расширения логической оснащенности человеческого рассудка. В конце концов, их труды принесут «золотые» плоды. Но «струнная» математика, оторванная от экспериментальных исследований, слишком избыточна, чтобы среди бесконечного количества предлагаемых ею возможностей, исследователи могли нащупать единственную путеводную «нить».

Бездна математических возможностей безнадежно осложняет поиски «истинного вакуума», поэтому большинство струнных теоретиков продолжают затрачивать колоссальные усилия на поиски вариантов устранения расходимостей (бесконечностей), духов (отрицательных вероятностей) и тахионов (нестабильностей вакуума) в многомерных квантовых теориях, а не пытаются воссоздавать наглядные модели обитателей микромира. Поверхности, которые заметают суперструны в 10-мерных многообразиях Калаби - Яу, струны в 26-мерных пространствах и р-браны, конечно обладают элементами наглядности, и это привило к ощутимому прогрессу струнных теорий. Но (на мой взгляд) исходная логическая незавершенность основ квантовой физики и общей теории относительности мешает развитию струнных воззрений.

Для выхода из сложившейся в современной физике микромира ситуации, на мой взгляд, необходимо опереться на наглядные модели элементарных частиц (развиваемые, например, в Алгебре сигнатур [2,3,4]), а так же необходимо произвести ревизию логических основ квантовой механики. Имеемо этой проблеме и посвящена нижеизложенная статья.

Предложенная здесь модель блуждающей частицы (обладающей объемом и хаотичной траекторией движения), явно противоречит неопозитивистским воззрениям, но приводит к выводу уравнения Шредингера.

2

Рис.1. Частица (материальная «точка»),

хаотически блуждающая в окрестности

условного «центра» таким образом, что

ее полная механическая энергия E

всегда остается постоянной (Е = const)

. Модель блуждающей частицы

Рассмотрим частицу, обладающую массой m и небольшим объемом по сравнению с рассматриваемой областью окружающего ее пространства (рис.1). Условно будем называть данную частицу материальной «точкой» (или для краткости «точкой»).

Допустим, что данная частица хаотически блуждает в окрестностях условного «центра» (совмещенного с началом системы координат X Y Z) под действием множества не связанных между собой силовых факторов.

Примером такого поведения частицы может послужить, например, хаотическое дрожание ядра внутри биологической клетки.

Предположим, что при отклонении рассматриваемой «точки» от «центра» возникает сила, стремящаяся вернуть ее в исходный «центр». При этом, чем дальше «точка» отклоняется от «центра», тем больше влияние возвращающей силы.

В рассматриваемой модели «точка» достигает определенного удаления от «центра» за счет расхода кинетической энергии T (x,y,z,t) (т.е. с замедлением), а затем под действием возвращающей силы [или накопленной потенциальной энергии U (x,y,z,t)] она возвращается к «центру» с ускорением. За счет приобретенной кинетической энергии «точка» проскакивает «центр», и вновь удаляется от него с замедлением. Такое хаотическое движение «точки», в рассматриваемой модели, продолжается «вечно», поскольку ее полная механическая энергия E всегда остается постоянной

Е = T (x,y,z,t) + U (x,y,z,t) = const, (7)

где T (x,y,z,t) – кинетической энергия «точки», обусловленная скоростью ее движения;

U (x,y,z,t) – потенциальная энергия «точки», обусловленная силой (например, силой упругости окружающей среды), стремящейся вернуть «точку» в «центр» рассматриваемого локального образования (или замкнутой механической системы).

Другими словами в рассматриваемой модели каждая из энергий T (x,y,z,t) и U (x,y,z,t) «точки» является случайной функцией времени и места ее положения относительно «центра». Но эти энергии плавно перетекают друг в друга таким образом, что их сумма (т. е. полная механическая энергия Е) всегда остается постоянной.

Если скорость хаотического движения «точки» в окрестности условного «центра» данной механической системы (рис. 1) невелика, то согласно нерелятивистской механике, она обладает кинетической энергией

. (8)

Для сокращения записей вместо (8) будем писать

, (9)

где p_х(t), p_у(t), p_z(t) – мгновенные значения компонент импульса блуждающей «точки»,

, (10)

.

Вид потенциальной энергии «точки» U (x,y,z,t) не конкретизируется.

Действие рассматриваемой «точки» S в нерелятивистской механике определено следующим образом [1]

(11)

Для упрощения выкладок здесь рассмотрен одномерный случай, не ограничивающий общность заключений. В случае трех измерений увеличивается только число интегрирований.

Из-за сложности движения блуждающей «точки» нас будет интересовать не само действие (11), а его усреднение по времени (или по реализациям)

(12)

Напомним, что для эргодического случайного процесса имеет место равенство между усреднением по времени и усреднением по реализациям.

Знак плюс в подынтегральном выражении (12) поставлен потому, что усредненная потенциальная энергия отрицательна, т. к. всегда стремится вернуть «точку» в «центр» исследуемого в среднем сферически симметричного образования. Усреднение (12) осуществляется по реализациям, взятым за один и тот же промежуток времени  t = t₂ – t₁.

Усредненную кинетическую энергию блуждающей «точки» представим в виде

, (13)

где ρ(p_x) – плотность распределения вероятности (ПРВ) составляющей импульса р_х материальной «точки».

Усредненную потенциальную энергию «точки» представим в виде

, (14)

где ρ(х) – ПРВ места нахождения проекции на ось х «точки», блуждающей в окрестности условного «центра» (рис.1).

Подставляя (13) и (14) в усредненное действие (12), получим

(15)

Для дальнейшего вывода обощенного уравнения Шредингера ниже приведены два вспомогательных пункта. Первый пункт, являющийся разработкой автора [2, 3], посвящен определению плотности распределения вероятности производной n-го порядка n раз дифференцируемого, случайного стационарного процесса. Второй пункт «Координатное представление усредненного импульса частицы» в основном позаимствован из работ Д.И. Блохинцева [5] для удобства ссылок.

3. Определение плотности распределения вероятности производной n-го
порядка n раз дифференцируемого, случайного, стационарного процесса

Определение способа нахождения плотности распределения вероятности (ПРВ) производной стационарного в узком смысле случайного процесса при известной ПРВ самого этого процесса является ключом к пониманию квантовой механики и границ ее применения. Решение данной задачи позволяет обосновать квантово-механическую процедуру перехода от координатного представления к импульсному и, наоборот. Это становится возможным в силу того, что импульс частицы (материальной «точки») линейно связан с производной от ее координаты p_x= m·x/t = mx׳. Именно это обстоятельство позволяет обосновать связь между импульсным и координатным представлениями квантово - механической системы исходя не из феноменологических принципов корпускулярно-волнового дуализма Луи де Бройля, а из взаимосвязи между ПРВ случайного процесса и ПРВ его первой производной. Кроме того, проблема определения одномерной ПРВ ρ₁[ξⁿ(t)] - производной n-го порядка n раз дифференцируемого случайного стационарного процесса ξ (t), при известной только его одномерной ПРВ ρ₁[ξ (t)], возникает в ряде других задач радиофизики и статистической механики.

Отметим вначале общие свойства первой производной случайного стационарного процесса ξ(t). Для этого рассмотрим м его реализаций (рис. 2).

Из рис. 2 видно, что значение случайной величины ξ(t_i) в сечении t_i и значение производной этого процесса при том же значении аргумента t_i являются независимыми, а следовательно, и некоррелированными, случайными величинами. Данное утверждение может быть выражено аналитически [6]

(16)

Рис. 2. Реализации, по крайней мере, один раз дифференцируемого

случайного стационарного процесса ξ(t)

де   означает усреднение по реализациям. Здесь учтено, что операции дифференцирования и усреднения в данном случае являются коммутативными операциями, и что все усредненные характеристики стационарного в узком смысле процесса являются постоянными величинами, в том числе его дисперсия не зависит от времени .

Реализации стационарного случайного процесса ξ(t_i), показанные на (рис. 2), могут интерпретироваться, как реализации проекции на ось х места нахождения блуждающей материальной «точки» х (t) = ξ (t_i) (см. рис.1).

Существует также класс случайных процессов, в которых ξ(t_i) = ξ_i и ξ (t_i) = ξ_i являются не только некоррелированными, но и независимыми случайными величинами. К ним относится случайный стационарный гауссовский процесс [6,7].

Однако даже при статистической независимости случайных величин ξ_i и ξ_i некая связь между ПРВ ρ₁(ξ_i) и ПРВ ρ₁(ξ_i ) существует. Это вытекает из известной процедуры (см. [6,7]) получения ПРВ производной ρ₁(ξ_i) при известной двухмерной ПРВ случайного стационарного процесса

. (17)

Для этого в выражении (17) необходимо сделать замену переменных

, (18)

где

с якобианом преобразования [J] = τ. В результате из ПРВ (17) получим

. (19)

Далее, интегрируя полученное выражение по ξ_k, найдем искомую ПРВ производной исходного процесса в сечении t_k [6,7]:

. (20)

Формальная процедура (17) – (20) позволяет решить задачу определения ПРВ ρ₁(ξ ) при известной двухмерной ПРВ (17). Однако двухмерные ПРВ определены для очень ограниченного класса случайных процессов. Поэтому необходимо рассмотреть возможность получения ПРВ ρ₁(ξ_i ) при известной одномерной ПРВ ρ₁(ξ_i).

Для решения поставленной задачи воспользуемся следующими свойствами случайных процессов:

1. Двухмерная ПРВ любого случайного процесса может быть представлена в виде [6,7]Реализации стационарного случайного процесса

(21)

где ρ(ξ_j, t_j /ξ_i, t_i) – условная ПРВ.

2. Для стационарного в узком смысле случайного процесса справедливо тождество [6,7]

. (22)

3. Условная ПРВ случайного стационарного процесса при t_i → t_j вырождается в дельта-функцию [7]

. (23)

На основании вышеперечисленных свойств попытаемся рассмотреть случайный процесс на участке ] t_i – τ₀; t_i + τ [ при τ→0 посредством следующей формальной процедуры. ПРВ ρ₁(ξ_i) = ρ₁(ξ_i, t_i) и ρ₁(ξ_j) = ρ₁(ξ_j, t_j) всегда можно представить в виде произведения двух функций

(24)

где φ(ξ_i) – плотность амплитуды вероятности (ПАВ) случайной величины ξ_i в сечении t_i.

Для стационарного случайного процесса справедливо тождество

(25)

в чем легко убедиться, взяв квадратный корень от обеих частей тождества (22). Тогда, согласно (24), получим (25). Отметим, что тождество (25) приближенно справедливо и для большинства нестационарных случайных процессов при τ→0, т. е.

. (26)

При выполнении условия (25) выражение (21) может быть представлено в симметричном виде

(27)

где ρ(ξ_j /ξ_i) – условная ПРВ, или в развернутом виде

(28)

Устремим в (28) τ к нулю, но таким образом, чтобы интервал τ равномерно слева и справа стягивался в точку t_k = (t_j – t_i)/2. Обозначим симметричное стягивание τ к нулю через τ→ ± 0, тогда с учетом (23) из (27) получим

(29)

где ξ_ik – результат стремления случайной величины ξ(t_i) к случайной величине ξ(t_k) слева (т. е. ξ_i →ξ_k^–= ξ_ik – предел слева при t_i → t_k^–);

ξ_jk – результат стремления случайной величины ξ(t_j) к случайной величине ξ(t_k) справа (т. е. ξ_j → ξ_k⁺= ξ_jk – предел справа при t_j → t_k⁺).

Проинтегрировав обе части выражения (29) по ξ_ik и ξ_jk, получим тождество

. (30)

Выражение (30) является формальным математическим тождеством из теории обобщенных функций, учитывающим свойства дельта-функции (δ-функции). Для того, чтобы наполнить это выражение физическим содержанием, необходимо задать конкретный вид данной δ-функции.

Определим вид δ-функции для марковского случайного процесса.

Хотя марковские случайные процессы (т. е. процессы без вероятностного последствия) представляют собой специальный класс случайных процессов, значение их очень велико, поскольку выделяющие их условия оказываются выполненными в широкой области приложений теории вероятности [7].

Рассмотрим непрерывный марковский процесс, для которого справедливо уравнение Эйнштейна - Фоккера [7,8]

, (31)

где В – коэффициент диффузии.

Это дифференциальное уравнение параболического типа имеет три решения, одно из которых может быть представлено в виде [7,8]

(32)

где q – обобщенный параметр.

При t_j – t_i = τ → ± 0 из (32) получим одно из определений δ-функции

(33)

Подставив полученную δ-функцию (33) в выражение (30), получим

. (34)

Поменяв в (34) порядок интегрирования, имеем

 (35)

Учтем, что, согласно (25), φ(ξ_ik) = φ(ξ_jk) и что с учетом свойств δ-функции ξ_ik = ξ_jk = ξ_k . При этом выражение (35) принимает вид

(36)

где

(37)

(38)

Подынтегральное выражение в интеграле (36) отвечает всем требованиям ПРВ ρ(q) случайной величины q:

. (39)

Выясним теперь, что представляет собой случайная величина q. Для этого вернемся к рассмотрению выражения (32). Результат интегрирования в правой части этого выражения не зависит от величины q. Поэтому ее можно рассматривать как некую обобщенную частоту. Однако физическая постановка задачи и формализм математической записи выражения (32) накладывают на величину q следующие ограничения:

1) величина q должна характеризовать случайный процесс в исследуемом интервале ]t_i – τ₀; t_i+ τ[ при τ→ 0;

2) величина q, согласно математической записи правой части выражения (32), должна принадлежать множеству действительных чисел (q  R), имеющему мощность континуума, т. е. q должна иметь возможность принимать любое значение из диапазона ]– ∞, ∞ [;

3) q должна быть случайной величиной.

Всем трем требованиям удовлетворяют любая из следующих случайных величин, связанных со случайным процессом на исследуемом интервале τ:

(40)

Однако эти случайные величины характеризуют процесс на исследуемом интервале времени τ не в равной степени. Рассмотрим одну из реализаций исследуемого процесса. Функция ξ(t) (рис. 2) в интервале [t_i ; t_j = t_i + 2τ] при τ < τ_кор (где τ_кор – радиус корреляции случайного процесса) может быть разложена в ряд Тейлора-Маклорена

(41)

Запишем выражение (41) в симметричном виде

(42)

Из выражения (42) видно, все случайные величины (40) имеют значение при переходе случайного процесса ξ(t) из точки (ξ_i, t_i) в току (ξ_i , t_j = t_i + τ), но не в равной степени. Так же как в (32), устремим  к нулю, при этом (42) сводится к тождеству

(43)

Таким образом, единственной случайной величиной, удовлетворяющей всем вышеперечисленным требованиям на исследуемом временном интервале [t_i = t_k – τ/2; t_j = t_k+ τ/2], при τ→ ±0, является первая производная исходного случайного процесса ξ'_k в сечении t_k . Следовательно, остается положить, что случайная величина q в выражении (32) линейно связана только с ξ'_k , т. е.

(44)

где 1/η – коэффициент пропорциональности.

Подставляя (44) в (36) – (39), получим следующую искомую процедуру получения ПРВ производной ρ(ξ_k) случайного стационарного марковского процесса ξ(t) в сечении t_k при известной одномерной ПРВ ρ(ξ_k) в том же сечении:

1. Заданная одномерная ПРВ ρ(ξ) представляется в виде произведения двух плотностей амплитуд вероятности (ПАВ) φ(ξ):

. (45)

2. Осуществляются два преобразования Фурье

, (46)

. (47)

3. Окончательно для произвольного сечения случайного стационарного марковского процесса получим искомую ПРВ производной

. (48)

Для выяснения физического смысла коэффициента пропорциональности 1/η воспользуемся сравнением с известными результатами. Данный подход небезупречен с точки зрения математической строгости, но позволяет достаточно эффективно получить конкретный, практически важный результат.

Рассмотрим стационарный гауссовский, случайный процесс. При этом в каждом сечении этого процесса случайная величина ξ распределена по гауссовому закону:

, (49)

где  ²_ξ и а_ξ – дисперсия и математическое ожидание исходного гауссового, случайного процесса ξ(t).

Осуществляя с ПРВ (49) последовательность операций (45) – (48), получим ПРВ производной рассматриваемого случайного процесса:

 , (50)

С другой стороны, с помощью известной процедуры (17) – (20) для аналогичного случая получим [6,7]

, (51)

где σ_ξ' = σ_ξ /τ_кор, τ_кор – радиус корреляции исходного, случайного процесса ξ(t).

Сравнивая выражения (50) и (51), находим, что при

(52)

эти ПРВ полностью совпадают.

Выражение (52) получено для гауссового случайного процесса, но σ_ξ – среднеквадратическое отклонение и τ _кор – радиус корреляции - это основные характеристики любого стационарного случайного процесса. Все остальные начальные и центральные моменты в случае негауссовго распределения случайной величины ξ(t) дадут малый (незначительный) вклад в выражение (52), поэтому с высокой степенью достоверности можно утверждать, что оно применимо для большого класса стационарных случайных процессов.

Необходимо отметить, что в статистической физике и квантовой механике для перехода от координатного представления функции состояния элементарной частицы к ее импульсному представлению применяется формальная процедура, практически полностью аналогичная процедуре (45) – (48). Различие заключается только в определении коэффициента пропорциональности 1/η.

В квантовой механике хорошо известно, что если проекция на ось х положения свободной элементарной частицы, например, электрона описывается гауссовым распределением [9]

, (53)

где σ_x – среднеквадратичное отклонение (флуктуация) проекции на ось х положения элементарной частицы в окрестности среднего значения (т.е. «центра» системы), то в результате операций, аналогичных операциям (45) – (48), получается, что ПРВ составляющей импульса р_х элементарной частицы тоже гауссова [9]

(54)

со среднеквадратичным отклонением

, (55)

где  = 1,055·10^-34 Дж/Гц – постоянная Планка.

Если теперь учесть, что составляющая импульса элементарной частицы (например, электрона) р_х равна

, (56)

где m_e - масса покоя электрона, то ПРВ (54) с учетом (55) принимает вид

 . (57)

Сравнивая (50) и (57) с учетом (52) и ξ' = х', обнаруживаем, что для данного состояния элементарной частицы (электрона)

, (58)

где

(59)

– радиус корреляции стационарного случайного процесса, который является результатом проекции хаотического движения элементарной частицы (электрона) на ось х возле условного неподвижного «центра» системы (рис. 1).

σ_ex – среднеквадратичное отклонение проекции хаотически движущейся элементарной частицы (электрона) на ось х в окрестности среднего значения (т.е. условного «центра» системы).

С другой стороны, из выражения (58) следует, что постоянная Планка это не некая фундаментальная константа (высшая данность), а величина, выражаемая через усредненные параметры стационарного случайного марковского процесса

, (60)

где в общем случае:

σ_чx – среднеквадратичное отклонение проекции на ось х хаотически движущейся частицы («точки») в окрестности среднего значения (т.е. «центра» системы);

τ_чх – радиус корреляции стационарного случайного процесса, который является результатом проекции на ось х хаотического движения частицы («точки») возле неподвижного «центра» системы;

m – масса частицы («точки»).

При этом ħ – «постоянная Планка», оказывается константой лишь в том смысле, что она не зависит от масштабов рассматриваемого процесса. Другими словами, три параметра m, τ_чх и σ_чx хаотически блуждающей (без диссипации) частицы (материальной «точки») в окрестностях условного «центра» могут быть только такими, что их соотношение (60) всегда остается постоянной величиной ħ = const.

Для многих приложений более важно не само выражение (60), а связанное с ним соотношение (52), которое для рассматриваемого случая удобно представить в следующем виде

(61)

Отметим следующие выводы:

1. Квантово-механический переход от координатного представления к импульсному применим не только к процессам мира элементарных частиц, а к любым случайным стационарным марковским процессам, как в микромире, так и в макромире. Например, ветка дерева, постоянно хаотически колеблющаяся возле некого среднего положения («центра» системы) под действием быстро меняющих направлений порывов ветра, ведет себя аналогично поведению элементарной частицы в «потенциальной яме». Колебания ветки также имеет дискретный (квантовый) набор усредненных состояний в зависимости от интенсивности порывов ветра. При слабых порывах ветра ветка в основном колеблется возле условного «центра», при этом положение ее конца может быть описано гауссовым распределением. При более интенсивных порывах ветра конец ветки в среднем вращается по кругу; при еще больших порывах ветра ее конец в основном описывает восьмерку, и т.д. В зависимости от силы ветра конец ветки может в среднем описывать дискретный набор фигур Лиссажу. Другими словами, квантово-механический формализм не является эксклюзивной особенностью микромира, он также применим и к статистическому описанию многих хаотических процессов макромира.

2. Квантово-механический переход от координатного представления системы к ее импульсному представлению применим лишь к стационарным марковским процессам. То есть к так называемым процессам «без последействия». К аналогичному выводу пришли И. Пригожин и И. Стенгерс [10, 11], показавшие, что квантово-механический формализм инвариантен во времени по причине отсутствия последействия.

3. Приведенный здесь алгоритм перехода от координатного представления ρ(ξ_i) к импульсному ρ(mξ_i) и обратно получается при конкретном виде δ-функции (33), физическое содержание которой заключается в марковости исходного стационарного, случайного процесса.

4. На основании вышеизложенного можно получить ПРВ ρ(ξ_i'') - второй производной исходного, по крайней мере дважды дифференцируемого, случайного процесса. Для этого в качестве случайного процесса следует рассматривать не сам процесс  (t), а его первая производная (t) = (t)/t. Тогда распределение второй производной можно определить посредством той же процедуры (45) – (48), только при этом вместо ρ(ξ_i) в (45) необходимо подставить уже ρ(ξ_i).

Аналогично может быть получена ПРВ ρ(ξ_i⁽ⁿ⁾) любой производной n раз дифференцируемого случайного стационарного марковского процесса с помощью следующей рекуррентной процедуры:

; (62)

; (63)

; (64)

(65)

где

, (66)

– дисперсия и радиус корреляции n–1 раз дифференцируемого случайного процесса.

5. Процедура (45) – (48) полностью аналогичная квантово-механической процедуре перехода от координатного представления квантовой системы к ее импульсному представлению, получена здесь на основании исследования реализаций обычного случайного стационарного марковского процесса, т.е. без привлечения феноменологических принципов корпускулярно-волнового дуализма Луи де Бройля. Тем самым показано, что процессы и события, происходящие в мире элементарных частиц, аналогичны процессам макромира, и для их объяснения вовсе не требуется привлечение дополнительных гипотез. Без привлечения идеи о существовании волн материи де Бройля можно объяснить и дифракцию элементарных частиц на кристаллических решетках твердых веществ. Отсылаем, например, к п. 2.9.6 в зеленой части Алгебры сигнатур [3], где получена формула для расчёта объемной диаграммы (индикатрисы) рассеяния частиц на многослойной периодической эквипотенциальной поверхности кристалла (рис. 3), совпадающая с экспериментальными данными.

Рис. 3. Диаграмма (индикатриса) рассеяния частиц (электронов) на многослойной периодической эквипотенциальных поверхностях кристалла, рассчитанная по формуле [3, 14]

,

при угле падения частиц на поверхность кристалла  = 45^о и азимутальном угле  = 0^о

r_кор = 0,0000000001 = 10^–10, l₁ = 0,000000001 = 10^–9, n₁ = 1940,

где

и

k_к = r_кор n₁²/ (0,066 l₂),

здесь:

l₂ – толщина поверхности монокристалла, отражающего пучок электронов l₂ = n₁l₁ (где l₁– толщина одного слоя, т. е. одной эквипотенциальной поверхности; n₁ – число слоев, эффективно участвующих в рассеянии электронов);

r_кор – усредненный радиус кривизны одной эквипотенциальной поверхности. Для монокристалла у всех эквипотенциальных поверхностей r_кор один и тот же и по сути означает эффективное сечение рассеяния атомами кристалла электронов.

4. Координатное представление усредненного импульса частицы

Напомним сначала о свойствах интеграла Дирихле, фигурирующего в теории интегралов Фурье и теории обобщенных функций [5]:

, (67)

где (68)

- одна из разновидностей δ-функции, отвечающая условиям

 (69)

Рассмотрим ради сокращения выкладок случай одного измерения и докажем справедливость равенства [5]

(70)

где

n – целая, положительная степень;

– усреднение по времени (или по реализациям) возведенной в степень n компоненты импульса р_хⁿ = (m·x/t)ⁿ = (mx׳)ⁿ;

– плотности распределения вероятности (ПАВ), которые вводятся как (24) [ ] и (48) [ ], и связаны между собой (при условии стационарности и марковости случайного процесса), согласно (46) и (47), преобразованиями Фурье:

; (71)

;

; (72)

,

где параметр η_ч определен соотношением (61)

. (73)

Для доказательства подставим в (70) вместо ψ(р_x) и ψ*(р_x) их выражения через интегралы (71) [5]:

 (74)

Непосредственной проверкой легко убедиться, что

. (75)

Подставляя (75) в (74) получим:

 . (76)

Проинтегрируем второй интеграл в подынтегральном выражении n раз по частям, причем будем предполагать, что ψ(x) и ее производные обращаются в нуль на границах интегрирования x = ± ∞. Выполняя интегрирование, найдем [5]

 (77)

Переменим порядок интегрирования и будем интегрировать сначала по p_x [5]:

(78)

Введем теперь переменные ξ= р_x /h, z = x_k – x_l. Выполняя в последнем интеграле в (78) интегрирование по ξ в конечных пределах от – k до + k, а затем, переходя к пределу k → ∞, данное выражение можно представить в виде [5]

(79)

На основании свойств δ-функции (69) (a = –∞; b = +∞), ψ(z) = ψ*(x+z) имеем [5]

(80)

или

(81)

где

(82)

(u – произвольное действительное число), тем самым доказано выражение (70).

На основании (71) аналогично можно получить

(83)

Обобщение на три измерения сводится к увеличению числа интегрирований [5].

5. Вывод обобщенного уравнения Шредингера

Вернемся к рассмотрению усредненного действия (15)

(84)

которое соответствует усредненному состоянию частицы (материальной «точки»), хаотически блуждающей в окрестности условного «центра» с постоянной полной механической энергией Е (рис. 1).

Представим усредненное действие (84) в координатном виде. Для этого выполним следующие операции.

1. Запишем ПРВ ρ(х) в виде произведения двух плотностей амплитуды вероятности (ПАВ) ψ(х):

(85)

где

, (86)

(87)

2. Воспользуемся координатным представлением усредненного импульса, возведенного в степень n (81). При этом в частности имеем

, (88)

Напомним, что, как показано в пунктах 3 и 4, такое представление возможно только для случайного стационарного марковского процесса (в частности, для хаотического без последействия движения материальной «точки» возле условного «центра»).

3. Используя (88) представим усредненную кинетическую энергию «точки» (13) в виде

(90)

а ее усредненная потенциальная энергия (14) с учётом (85) принимает вид

(89)

Проверкой легко убедиться в том, что

(100)

или с учетом (86, 87)

(101)

4. Подставляя выражения (90), (89) и (101) в (84), получим запись усредненного действия блуждающей «точки» в координатном виде

(102)

или

(103)

Условие экстремальности усредненного действия (103) требует обращения в ноль его первой вариации (все последующие операции соответствуют формализму вариационного исчисления [12])

(104)

Экстремаль функционала (104), т. е. функция  (x,t), при которой усредненное действие (104) принимает экстремальное значение, определяется уравнением Эйлера – Пуассона [12]. Данное уравнение для лагранжиана L, являющегося подынтегральным выражением в функционале действия

где z = (x, t), (105)

имеет вид [12]

(106)

здесь

(107)

– полная частная производная по х.

Аналогично

(108)

и т. д.

Используя подынтегральное выражение из усредненного действия (104), определим

Подставляя эти выражения в (106), получим искомое уравнение для определения экстремали ψ (х,t) функционала усреднённого действия (104)

(109)

где

 (x,t) (x,t) = | (x)| ² = (x)

– ПРВ проекции на ось х места нахождения материальной «точки», блуждающей относительно условного «центра» так, что ее полная механическая энергия E всегда остается постоянной (Е = const), а сама данная проекция х (t) является стационарным случайным марковским процессом.

Обобщение на три измерения, сводящееся к увеличению числа интегрирований, при этом имеем

(110)

где

r – радиус-вектор с началом в «центре» исследуемого образования (r² = x² + y² + z²) (рис.1).

Уравнение (110) является не чем иным, как уравнением Шредингера (1) с борновским пониманием смысла волновой функции . Но в этом случае «постоянная Планка» ħ – это не фундаментальная константа, а параметр (60), выраженный через соотношение усредненных характеристик исследуемого стационарного случайного марковского процесса

,

Если обе части уравнения (110) сократить на ħ то получим

С учетом (61) Данное уравнение принимает

(111)

где

, (112)

здесь

(113)

– геометрически усредненное среднеквадратичное отклонение хаотически движущейся частицы (материальной «точки») от условного «центра» (рис. 1);

(114)

• геометрически усредненный радиус корреляции (точнее автокорреляции) рассматриваемого случайного процесса.

Уравнение (111) будем называть обобщённым уравнением Шредингера.

Предложенный в данной статье подход позволил вывести основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, исходя из принципов в корне отличающихся от идейных устоев неопозитивистов. Но сама квантовая механика, созданная плеядой великих ученых, от этого совершенно не пострадало, а только укрепились ее логические основания.

Подобным образом могут быть получены все основные уравнения квантовой теории поля: уравнение Клена-Гордона, уравнения Дирака, уравнения Максвелла и т. д. Алгоритм их вывода аналогичен подходу, приведенному в данной статье:

1) записывается детерминистское действие системы;

2) данное действие усредняется;

3) все усредненные слагаемые в подынтегральном выражении усредненного действия представляются через плотности распределения вероятности ρ(х) и/или ρ(p_x);

4) производится переход всех слагаемых лагранжиана усредненного действия в координатное или в импульсное представление;

5) определяется уравнение для экстремали получившегося функционала (усредненного действия) по средствам методов вариационного исчисления.

Значимость приведенного здесь вывода обобщённого уравнения Шредингера (111) заключается в следующем:

- становится понятным, к каким явлениям микро- и макромира оно относится, каковы границы и условия его применения.

- отпала необходимость в привлечении «принципа неопределённости» Гейзенберга и представлений о «волнах материи» де Бройля, поскольку при выводе уравнения (111) получена процедура (45) - (48), полностью аналогичная переходу от координатного представления статистической (в т.ч. квантово-механической) системы к ее импульсному представлению, без этих квантово-механических принципов.

- «постоянная Планка» ħ приобретает определение через усредненные параметры исследуемого случайного процесса;

- явления микромира оказываются подобными явлениям макромира. Уравнение (111) одинаково хорошо описывает усредненное поведение электрона в потенциальной яме, ядра в цитоплазме биологической клетки, младенца в вольере, ядра в недрах планеты, тигра в клетке, мухи в банке и т.д. Все эти процессы обладают дискретным набором усредненных состояний, свойственных замкнутым системам;

- возвращаются к рассмотрению объем и траектория блуждающей элементарной частицы. С возращением наглядности, физика микромира вновь приобретает привычную логическую «почву под ногами»;

- обобщённое уравнение Шредингера (111) не содержит размерной величины – массы частицы m, и из-за которой приходиться вводить дополнительную размерную константу – постоянную Планка ħ. «Масса» является (по моему мнению) одной из самых «темных» размерных величин современной физики (см. п. 1.7.10 в [2] и гл. 7 в [3]). Несомненно, что в окончательной теории понятие «масса» должно отсутствовать, и данная статья - это один из шагов в направлении искоренения данной размерной величины из наших представлений о веществе.

Кроме того, данная статья может внести некоторую ясность в разрешение спора между Н. Бором и А. Эйнштейном в отношении «вероятности». Напомним, что Альберт Эйнштейн, как и многие другие физики того времени, относился к вероятности (точнее к статистике), как значительному упрощению математического описания сложного поведения детерминированной системы (например, блуждающей частицы), находящейся под влиянием множества детерминированных, но несвязанных между собой факторов. Нильс Бор и его последователи отстаивали принципиально иной подход, рассматривая вероятность, как исходную, первичную данность природы микромира; а детерминированные явления макромира, по мнению неопозитивистов, есть результат усреднения изначально вероятностных (случайных) субатомных процессов. Данная статья написана с позиций Альберта Эйнштейна, что и привело к выводу уравнения Шредингера. Однако справедливости ради следует отметить, что, судя по всему, имеется и второй вывод данного основополагающего уравнения, исходя из принципа экстремума интеграла энтропии (см. п. 2.8.7 в [3]) сложно флуктуирующей системы, т.е. с позиций мнения Нильса Бора на природу вероятности. По всей видимости, детерминизм и вероятность – это проявления единой дуальности, лежащей в основаниях этого мира.

Основные тезисы данной статьи были впервые частично опубликованы в порядке обсуждения в 1990 г. в [13,14], благодаря моим наставникам: д.т.н., профессору Альберту Андреевичу Кузнецову и д.ф-м.н., профессору Анатолию Ивановичу Козлову.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. – М.: Наука, 1988, С. 237.

2. Гаухман М.Х. Алгебра сигнатур «Пустота» (желтая Алсигна). – М.: УРСС, 2007, С. 308, www.alsignat.narod.ru.

3. Гаухман М.Х. Алгебра сигнатур «Частицы» (зеленная Алсигна). – М.: Либроком, 2008, С. 422, www.alsignat.narod.ru.

4. Гаухман М.Х. Алгебра сигнатур «Гравитация» (голубая Алсигна). – М.: Либроком, 2009, С. 294, www.alsignat.narod.ru.

5. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. – М.: Высшая школа, 1963, С. 620.

6. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику Ч.1. – М.: Наука, 1976, С. 494.

7. Тиханов В.И. Статистическая радиофизика. – М.: Радио и связь, 1982, С. 622.

8. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. – М.: Наука, 1991, С. 383.

9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. – М.: Наука, 1989, С. 767.

10. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. – М.: Эдиториал УРСС, 2000, С. 310.

11. Пригожин И. Стенгерс И. Время, хаос, квант. – М.: Эдиториал УРСС, 2001, С. 239.

12. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969, С. 424.

13. Батанов М.С. Качественно новое понимание структурной организации материи (вывод уравнения Шредингера). Проблемы технической эксплуатации и совершенствования РЭО. Межвузовский сб. науч. тр. – М.: РИО МИИГА, 1990, С. 145 - 156.

14. Батанов М.С. Влияние подстилающей поверхности на точностные характеристики квазидоплеровского пеленгатора. Диссертация кандидата тех. наук. – М.: МГТУ ГА, 1994. С. 214.

15. Сайт www.alsignat.narod.ru.

CONCLUSION SCHRÖDINGER'S EQUATION FOR MICROSCOPIC AND MACROSCOPIC SYSTEMS

Batanov M.S., Cand.Tech.Sci., associate professor MAI, alsignat@yandex.ru

Abstract: The based provisions of quantum mechanics (such as "matter waves" of de Broil, "principle of uncertainty" of Heisenberg, lack of the sizes and a trajectory of the movement at elementary particles, and also emergence history Schrödinger's equation), are still not rather logical. Interest in sources of quantum mechanics is caused still by that the advanced boundaries of science in the field of studying of the structural organization of a matter - the string theories which are based on quantum mechanics are in difficulties almost irresistible (in my opinion). It forces to return to reconsideration of fundamentals of quantum physics.

In underwritten article the model of chaotically wandering material particle (possessing the size and a trajectory of the movement) on the basis of which it was possible is offered:

- to remove Schrödinger's equation;

- to attach to Planck's constant ħ concrete physical significance;

- to prove transition from coordinate representation statistical (including quantum-mechanical) systems to its pulse idea without attraction of idea of existence of "matter waves" of de Broil and "the principle of uncertainty" of Heisenberg.

Thus conditions and borders of application of the generalized Schrödinger's equation to the description of the phenomena, both a microcosm, and macrocosm are revealed.

Besides, the intermediate result "determination of density of distribution of probability of a derivative of n-go of an order of n of times of differentiable, casual, stationary Markov process" can be applicable in many areas of statistical mechanics and radiophysics.

Keywords: Schrödinger's equation, electron, density of distribution of probability of a derivative, particle, chaotic trajectory, coordinate representation.

LIST OF REFERENCES

1. Landau L.D., Lifshic E.M. Mehanika. – M.: Nauka, 1988, S. 237.

2. Gauhman M.H. Algebra signatur «Pustota» (zheltaja Alsigna). – M.: URSS, 2007, S. 308, www.alsignat.narod.ru.

3. Gauhman M.H. Algebra signatur «Chasticy» (zelennaja Alsigna). – M.: Librokom, 2008, S. 422, www.alsignat.narod.ru.

4. Gauhman M.H. Algebra signatur «Gravitacija» (golubaja Alsigna). – M.: Lib-rokom, 2009, S. 294, www.alsignat.narod.ru.

5. Blohincev D.I. Osnovy kvantovoj mehaniki. – M.: Vysshaja shkola, 1963, S. 620.

6. Rytov S.M. Vvedenie v statisticheskuju radiofiziku Ch.1. – M.: Nauka, 1976,S. 494.

7. Tihanov V.I. Statisticheskaja radiofizika. – M.: Radio i svjaz', 1982, S. 622.

8. Ventcel' E.S., Ovcharov L.A. Teorija sluchajnyh processov i ee inzhenernye prilozhenija. – M.: Nauka, 1991, S. 383.

9. Landau L.D., Lifshic E.M. Kvantovaja mehanika. Nereljativistskaja teorija. – M.: Nauka, 1989, S. 767.

10. Prigozhin I., Stengers I. Porjadok iz haosa. – M.: Jeditorial URSS, 2000, S. 310.

11. Prigozhin I. Stengers I. Vremja, haos, kvant. – M.: Jeditorial URSS, 2001, S. 239.

12. Jel'sgol'c L.Je. Differencial'nye uravnenija i variacionnoe ischislenie. – M.: Nauka, 1969, S. 424.

13. Batanov M.S. Kachestvenno novoe ponimanie strukturnoj organizacii mate-rii (vyvod uravnenija Shredingera). Problemy tehnicheskoj jekspluatacii i sovershenstvovanija RJeO. Mezhvuzovskij sb. nauch. tr. – M.: RIO MIIGA, 1990, S. 145 - 156.

14. Batanov M.S. Vlijanie podstilajushhej poverhnosti na tochnostnye harakte-ristiki kvazidoplerovskogo pelengatora. Dissertacija kandidata teh. nauk. – M.: MGTU GA, 1994. S. 214.

15. www.alsignat.narod.ru.