Вывод уравнения Шредингера для микроскопических и макроскопических систем

Аннотация: Основанные положения квантовой механики (такие, как «волны материи» де Бройля, «принцип неопределенности» Гейзенберга, отсутствие размеров и траектории движения у элементарных частиц, а также история возникновения уравнение Шредингера), до сих пор не достаточно логически обоснованы. Интерес к истокам квантовой механики обусловлен еще тем, что передовые рубежи науки в области изучения структурной организации материи - струнные теории, базирующиеся на квантовой механике, находятся в практически непреодолимых (на мой взгляд) затруднениях. Это заставляет вернуться к переосмыслению основ квантовой физики.

В нижеизложенной статье предложена модель хаотически блуждающей материальной частицы (обладающей размером и траекторией движения), на основании которой удалось:

- вывести уравнение Шредингера;

- придать постоянной Планка ħ конкретное физическое значение;

- обосновать переход от координатного представления статистической (в т.ч. квантово-механической) системы к ее импульсному представлению без привлечения идеи о существовании «волн материи» де Бройля и «принципа неопределенности» Гейзенберга.

При этом выявлены условия и границы применения обобщённого уравнения Шредингера к описанию явлений, как микромира, так и макромира.

Кроме того, промежуточный результат «определение плотности распределения вероятности производной n-го порядка n раз дифференцируемого, случайного, стационарного марковского процесса» может быть применим во многих областях статистической механики и радиофизики.

Ключевые слова: уравнение Шредингера, электрон, плотность распределения вероятности производной, частица, хаотическая траектория, координатное представление.

1. Уравнение Шредингера и проблемы квантово-механической парадигмы

Одной из основных загадок квантовой механики и, следовательно, всех современных продолжений данной теории, остается тайна появления уравнения Шредингера. Отсутствие логически обоснованного вывода данного исходного уравнения отрицательно влияет на развитие наших представлений о структурной организации материи.

Уравнение Шредингера имеет вид

(1)

где Ψ = Ψ (x,y,z,t) – волновая функция, характеризующая состояние элементарной

частицы;

U (x, y, z) – потенциальная энергия элементарной частицы;

Ψ – постоянная Планка;

m – масса частицы.

Считается, что это уравнение было получено Эрвином Шредингером (1887 – 1961) на основании индуктивных и дедуктивных предпосылок, сложившихся к 1926 году в результате экспериментальных исследований свойств элементарных частиц.

Особое значение в то время имела идея Луи Виктора де Бройля (1892 – 1987) о возможности существования волновых свойств материи. Луи де Бройль, сопоставив прямолинейную траекторию движения свободной частицы и распространение луча света, пришел к выводу, что путь прямолинейно движущейся материальной частицы и луч света описываются одним и тем же уравнением Якоби, вытекающим из фундаментального принципа «экстремума действия». Оказалось, что траектория движения свободной частицы и луч света являются экстремалями практически одного и того же функционала действия. Данное обстоятельство натолкнуло Луи де Бройля на мысль, что если волне, описываемой уравнением

w = exp{i(V t – kr)}, (2)

где V и k – частота и волновой вектор электромагнитной волны;

t – время;

r – вектор, задающий направление ее распространения,

присущи некие свойства частицы - фотона (т. е. корпускулярные свойства), то вполне возможно существование симметрии, т. е. движущейся материальной частице может соответствовать некая плоская волна материи

Ψ = exp{i(Et – pr)/ħ}, (3)

где Е – кинетическая энергия движущейся частицы,

р = mv – ее импульс.

Другими словами, Луи де Бройль предположил, что любой движущейся частице можно поставить в соответствие волну с частотой  = E/ и длиной волны  = 2  /p. Эта идея оказалась не только логически красивой, но и продуктивной. В 1929 г.
О. Штерн и И. Эстерман показали, что идея существования волн материи, предложенная де Бройлем, применима для описания явления дифракции атомов на кристаллических решетках кристаллов.

Кроме того, в одной из ранних работ Эрвин Шредингер, критически относясь к статистике Бозе – Эйнштейна, задался вопросом: – «Почему бы не начать с волнового представления частиц газа, а затем наложить на такие «волны» условия квантования «а ля условие Дебая»? После чего следует ключевая идея: – «Это означает не что иное, как необходимость серьезно отнестись к предложенной Л. де Бройлем и А. Эйнштейном волновой теории движущихся частиц».

Следующая статья Шредингера уже содержала уравнение (1), положившее начало квантовой механике, наряду с пионерскими работами Макса Планка, Альберта Эйнштейна, Нильса Бора и Вернера Гейзенберга.

Доводы, приведенные Шредингером при выводе уравнения (1), впоследствии были признаны специалистами неверными, однако само уравнение оказалось верным. Это не единственный случай в науке. Например, основные уравнения электродинамики также были получены Джеймсом Клерком Максвеллом из неверных предположений о механических свойствах эфира.

Значительно позже было установлено, что уравнение Шредингера (1) получается в результате следующей формальной квантово-механической процедуры. Полная механическая энергия Е нерелятивистской частицы в неком потенциальном поле U(r,t) равна

(4)

где р – импульс частицы,

r – вектор, задающий ее местоположение в потенциальном поле,

t – время.

Заменяя в уравнении (4) физические величины на операторы:

 , (5)

где , при подстановке этих операторов в выражение (4) и умножении его справа на  - функцию, получается уравнение Шредингера (1):

 (6)

где  – оператор, получивший название гамильтониана квантовой системы. Аналогичным образом строятся все операторы квантовых теорий.

Данный рецептурный формализм квантовой механики окутывает суть происходящего в микромире интеллектуальным туманом, полностью оторванным от реальности. Численные методы, развитые неопозитивистами, были нацелены не на постижение сути явлений в микромире, а на сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными. Надо выразить им глубокое почтение, ибо они явили торжество человеческой мысли на рубежах между познанным и непознанным. Но неопозитивисты возвели отличие квантовых явлений микромира от свойств наблюдаемой реальности в философский принцип: - «Незнаем, и не узнаем». Это, на мой взгляд, отрицательно повлияло на несколько поколений физиков.

То, что результаты экспериментов по рассеянию элементарных частиц удалось объяснить с помощью волн материи де Бройля – это чудо, т. к. это не результат детального исследования микроскопических процессов рассеяния частиц на атомных кристаллических решетках, а просто феноменальное совпадение экспериментального факта с оригинальной идеей. Как бы там ни было, но именно это совпадение привело к развитию корпускулярно-волнового дуализма и, в итоге, к созданию – квантовой механики.

За девяносто лет, прошедших с 1926 года много исследователей предлагали различные способы вывода уравнений Шредингера. Но, насколько мне известно, не одна из этих попыток не увенчалась успехом. Основы квантовой механики и по сей день вызывают дискуссии в научном сообществе.

Выработанный в Копенгагене еще в начале прошлого века концептуальный подход, выраженный в вероятностной интерпретации волновой функции  (x,y,z,t) и развитый на этом основании квантово-механический формализм практически полностью исключает возможность любого причинного описания явлений микромира. Неопозитивисты, создавшие и возглавившие квантово-механическое движение, настояли на том, что на пикоскопическом (10^–11…10^–13 см) уровне организации материи детерминизм полностью уступает место вероятностному формализму. Любое упоминание о траектории движения элементарных частиц и их размерах выходит за рамки неопозитивистских воззрений, что вначале послужило колоссальному прогрессу в развитии квантовых теорий, а теперь, на мой взгляд, является препятствием на пути развития наших представлений о глубинах мироздания.

Логическая незавершенность основ квантовой механики вызывала душевный дискомфорт практически всех у ее создателей: Макса Планка, Луи де Бройля, Альберта Эйнштейна, Эрвина Шредингера. Все они полагали, что квантовая механика лишь прелюдия перед будущей, верной теорией. Им принципиально возражал лишь Нильс Бор, утверждавший: – «Все согласны, что наша теория безумна. Мы расходимся лишь в одном: достаточно ли она безумна?». Действительно, трудно осознать, что у материальной частицы нет размеров и траектории движения, тем не менее, копенгагенской школе удалось убедить в этом все цивилизованное человечество.

Школа Н. Бора одержала в начале 20-го века «пиррову» победу благодаря блистательной плеяде его учеников и единомышленников: Гейзенберу, Йордану, Борну, Паули, Дираку и многих других их последователей. Это поколение ученых легко «скинуло» с себя ментальный груз детерминистских воззрений. Они без особых душевных терзаний, легко обменяли «здравый смысл» (т.е. наглядную физику) на рецептурный математический формализм. С тех пор последователи копенгагенской школы с переменными успехами пытаются дважды проквантовать все виды взаимодействий, чтобы в итоге рассчитать все компоненты (амплитуды) универсальной S-матрицы. При этом они не особо заботятся о наглядности физических моделей, а цепляются за мощный математический аппарат теории групп.

Развиваемые математиками «струнные» воззрения, несомненно, полезны для расширения логической оснащенности человеческого рассудка. В конце концов, их труды принесут «золотые» плоды. Но «струнная» математика, оторванная от экспериментальных исследований, слишком избыточна, чтобы среди бесконечного количества предлагаемых ею возможностей, исследователи могли нащупать единственную путеводную «нить».

Бездна математических возможностей безнадежно осложняет поиски «истинного вакуума», поэтому большинство струнных теоретиков продолжают затрачивать колоссальные усилия на поиски вариантов устранения расходимостей (бесконечностей), духов (отрицательных вероятностей) и тахионов (нестабильностей вакуума) в многомерных квантовых теориях, а не пытаются воссоздавать наглядные модели обитателей микромира. Поверхности, которые заметают суперструны в 10-мерных многообразиях Калаби - Яу, струны в 26-мерных пространствах и р-браны, конечно обладают элементами наглядности, и это привило к ощутимому прогрессу струнных теорий. Но (на мой взгляд) исходная логическая незавершенность основ квантовой физики и общей теории относительности мешает развитию струнных воззрений.

Для выхода из сложившейся в современной физике микромира ситуации, на мой взгляд, необходимо опереться на наглядные модели элементарных частиц (развиваемые, например, в Алгебре сигнатур [2,3,4]), а так же необходимо произвести ревизию логических основ квантовой механики. Имеемо этой проблеме и посвящена нижеизложенная статья.

Предложенная здесь модель блуждающей частицы (обладающей объемом и хаотичной траекторией движения), явно противоречит неопозитивистским воззрениям, но приводит к выводу уравнения Шредингера.

2

Рис.1. Частица (материальная «точка»),

хаотически блуждающая в окрестности

условного «центра» таким образом, что

ее полная механическая энергия E

всегда остается постоянной (Е = const)

. Модель блуждающей частицы

Рассмотрим частицу, обладающую массой m и небольшим объемом по сравнению с рассматриваемой областью окружающего ее пространства (рис.1). Условно будем называть данную частицу материальной «точкой» (или для краткости «точкой»).

Допустим, что данная частица хаотически блуждает в окрестностях условного «центра» (совмещенного с началом системы координат X Y Z) под действием множества не связанных между собой силовых факторов.

Примером такого поведения частицы может послужить, например, хаотическое дрожание ядра внутри биологической клетки.

Предположим, что при отклонении рассматриваемой «точки» от «центра» возникает сила, стремящаяся вернуть ее в исходный «центр». При этом, чем дальше «точка» отклоняется от «центра», тем больше влияние возвращающей силы.

В рассматриваемой модели «точка» достигает определенного удаления от «центра» за счет расхода кинетической энергии T (x,y,z,t) (т.е. с замедлением), а затем под действием возвращающей силы [или накопленной потенциальной энергии U (x,y,z,t)] она возвращается к «центру» с ускорением. За счет приобретенной кинетической энергии «точка» проскакивает «центр», и вновь удаляется от него с замедлением. Такое хаотическое движение «точки», в рассматриваемой модели, продолжается «вечно», поскольку ее полная механическая энергия E всегда остается постоянной

Е = T (x,y,z,t) + U (x,y,z,t) = const, (7)

где T (x,y,z,t) – кинетической энергия «точки», обусловленная скоростью ее движения;

U (x,y,z,t) – потенциальная энергия «точки», обусловленная силой (например, силой упругости окружающей среды), стремящейся вернуть «точку» в «центр» рассматриваемого локального образования (или замкнутой механической системы).

Другими словами в рассматриваемой модели каждая из энергий T (x,y,z,t) и U (x,y,z,t) «точки» является случайной функцией времени и места ее положения относительно «центра». Но эти энергии плавно перетекают друг в друга таким образом, что их сумма (т. е. полная механическая энергия Е) всегда остается постоянной.

Если скорость хаотического движения «точки» в окрестности условного «центра» данной механической системы (рис. 1) невелика, то согласно нерелятивистской механике, она обладает кинетической энергией

. (8)

Для сокращения записей вместо (8) будем писать

, (9)

где p_х(t), p_у(t), p_z(t) – мгновенные значения компонент импульса блуждающей «точки»,

, (10)

.

Вид потенциальной энергии «точки» U (x,y,z,t) не конкретизируется.

Действие рассматриваемой «точки» S в нерелятивистской механике определено следующим образом [1]

(11)

Для упрощения выкладок здесь рассмотрен одномерный случай, не ограничивающий общность заключений. В случае трех измерений увеличивается только число интегрирований.

Из-за сложности движения блуждающей «точки» нас будет интересовать не само действие (11), а его усреднение по времени (или по реализациям)

(12)

Напомним, что для эргодического случайного процесса имеет место равенство между усреднением по времени и усреднением по реализациям.

Знак плюс в подынтегральном выражении (12) поставлен потому, что усредненная потенциальная энергия отрицательна, т. к. всегда стремится вернуть «точку» в «центр» исследуемого в среднем сферически симметричного образования. Усреднение (12) осуществляется по реализациям, взятым за один и тот же промежуток времени  t = t₂ – t₁.

Усредненную кинетическую энергию блуждающей «точки» представим в виде

, (13)

где ρ(p_x) – плотность распределения вероятности (ПРВ) составляющей импульса р_х материальной «точки».

Усредненную потенциальную энергию «точки» представим в виде

, (14)

где ρ(х) – ПРВ места нахождения проекции на ось х «точки», блуждающей в окрестности условного «центра» (рис.1).

Подставляя (13) и (14) в усредненное действие (12), получим

(15)

Для дальнейшего вывода обощенного уравнения Шредингера ниже приведены два вспомогательных пункта. Первый пункт, являющийся разработкой автора [2, 3], посвящен определению плотности распределения вероятности производной n-го порядка n раз дифференцируемого, случайного стационарного процесса. Второй пункт «Координатное представление усредненного импульса частицы» в основном позаимствован из работ Д.И. Блохинцева [5] для удобства ссылок.

3. Определение плотности распределения вероятности производной n-го
порядка n раз дифференцируемого, случайного, стационарного процесса

Определение способа нахождения плотности распределения вероятности (ПРВ) производной стационарного в узком смысле случайного процесса при известной ПРВ самого этого процесса является ключом к пониманию квантовой механики и границ ее применения. Решение данной задачи позволяет обосновать квантово-механическую процедуру перехода от координатного представления к импульсному и, наоборот. Это становится возможным в силу того, что импульс частицы (материальной «точки») линейно связан с производной от ее координаты p_x= m·x/t = mx׳. Именно это обстоятельство позволяет обосновать связь между импульсным и координатным представлениями квантово - механической системы исходя не из феноменологических принципов корпускулярно-волнового дуализма Луи де Бройля, а из взаимосвязи между ПРВ случайного процесса и ПРВ его первой производной. Кроме того, проблема определения одномерной ПРВ ρ₁[ξⁿ(t)] - производной n-го порядка n раз дифференцируемого случайного стационарного процесса ξ (t), при известной только его одномерной ПРВ ρ₁[ξ (t)], возникает в ряде других задач радиофизики и статистической механики.

Отметим вначале общие свойства первой производной случайного стационарного процесса ξ(t). Для этого рассмотрим м его реализаций (рис. 2).

Из рис. 2 видно, что значение случайной величины ξ(t_i) в сечении t_i и значение производной этого процесса при том же значении аргумента t_i являются независимыми, а следовательно, и некоррелированными, случайными величинами. Данное утверждение может быть выражено аналитически [6]

(16)

Рис. 2. Реализации, по крайней мере, один раз дифференцируемого

случайного стационарного процесса ξ(t)

де   означает усреднение по реализациям. Здесь учтено, что операции дифференцирования и усреднения в данном случае являются коммутативными операциями, и что все усредненные характеристики стационарного в узком смысле процесса являются постоянными величинами, в том числе его дисперсия не зависит от времени .

Реализации стационарного случайного процесса ξ(t_i), показанные на (рис. 2), могут интерпретироваться, как реализации проекции на ось х места нахождения блуждающей материальной «точки» х (t) = ξ (t_i) (см. рис.1).

Существует также класс случайных процессов, в которых ξ(t_i) = ξ_i и ξ (t_i) = ξ_i являются не только некоррелированными, но и независимыми случайными величинами. К ним относится случайный стационарный гауссовский процесс [6,7].

Однако даже при статистической независимости случайных величин ξ_i и ξ_i некая связь между ПРВ ρ₁(ξ_i) и ПРВ ρ₁(ξ_i ) существует. Это вытекает из известной процедуры (см. [6,7]) получения ПРВ производной ρ₁(ξ_i) при известной двухмерной ПРВ случайного стационарного процесса

. (17)

Для этого в выражении (17) необходимо сделать замену переменных

, (18)

где

с якобианом преобразования [J] = τ. В результате из ПРВ (17) получим

. (19)

Далее, интегрируя полученное выражение по ξ_k, найдем искомую ПРВ производной исходного процесса в сечении t_k [6,7]:

. (20)

Формальная процедура (17) – (20) позволяет решить задачу определения ПРВ ρ₁(ξ ) при известной двухмерной ПРВ (17). Однако двухмерные ПРВ определены для очень ограниченного класса случайных процессов. Поэтому необходимо рассмотреть возможность получения ПРВ ρ₁(ξ_i ) при известной одномерной ПРВ ρ₁(ξ_i).

Для решения поставленной задачи воспользуемся следующими свойствами случайных процессов:

1. Двухмерная ПРВ любого случайного процесса может быть представлена в виде [6,7]Реализации стационарного случайного процесса

(21)

где ρ(ξ_j, t_j /ξ_i, t_i) – условная ПРВ.

2. Для стационарного в узком смысле случайного процесса справедливо тождество [6,7]

. (22)

3. Условная ПРВ случайного стационарного процесса при t_i → t_j вырождается в дельта-функцию [7]

. (23)

На основании вышеперечисленных свойств попытаемся рассмотреть случайный процесс на участке ] t_i – τ₀; t_i + τ [ при τ→0 посредством следующей формальной процедуры. ПРВ ρ₁(ξ_i) = ρ₁(ξ_i, t_i) и ρ₁(ξ_j) = ρ₁(ξ_j, t_j) всегда можно представить в виде произведения двух функций

(24)

где φ(ξ_i) – плотность амплитуды вероятности (ПАВ) случайной величины ξ_i в сечении t_i.

Для стационарного случайного процесса справедливо тождество

(25)

в чем легко убедиться, взяв квадратный корень от обеих частей тождества (22). Тогда, согласно (24), получим (25). Отметим, что тождество (25) приближенно справедливо и для большинства нестационарных случайных процессов при τ→0, т. е.

. (26)

При выполнении условия (25) выражение (21) может быть представлено в симметричном виде

(27)

где ρ(ξ_j /ξ_i) – условная ПРВ, или в развернутом виде

(28)

Устремим в (28) τ к нулю, но таким образом, чтобы интервал τ равномерно слева и справа стягивался в точку t_k = (t_j – t_i)/2. Обозначим симметричное стягивание τ к нулю через τ→ ± 0, тогда с учетом (23) из (27) получим

(29)

где ξ_ik – результат стремления случайной величины ξ(t_i) к случайной величине ξ(t_k) слева (т. е. ξ_i →ξ_k^–= ξ_ik – предел слева при t_i → t_k^–);

ξ_jk – результат стремления случайной величины ξ(t_j) к случайной величине ξ(t_k) справа (т. е. ξ_j → ξ_k⁺= ξ_jk – предел справа при t_j → t_k⁺).

Проинтегрировав обе части выражения (29) по ξ_ik и ξ_jk, получим тождество

. (30)

Выражение (30) является формальным математическим тождеством из теории обобщенных функций, учитывающим свойства дельта-функции (δ-функции). Для того, чтобы наполнить это выражение физическим содержанием, необходимо задать конкретный вид данной δ-функции.

Определим вид δ-функции для марковского случайного процесса.

Хотя марковские случайные процессы (т. е. процессы без вероятностного последствия) представляют собой специальный класс случайных процессов, значение их очень велико, поскольку выделяющие их условия оказываются выполненными в широкой области приложений теории вероятности [7].

Рассмотрим непрерывный марковский процесс, для которого справедливо уравнение Эйнштейна - Фоккера [7,8]