Сведения разных форм представления многомерных сингулярных интегралов друг к другу

Многие задачи механики, теория аналитических функций, математической физики и т.д. тесно связано с многомерными сингулярными интегральными уравнениями [1] Из чего следует необходимость разработки приближённых методы для вычисления многомерных сингулярных интегралов. Этим вопросом активно и плодотворно занимался Б.Г.Габдулхаев (см.напр. [2]И естественно интересен вопрос о том, какая существует связь между разными формами сингулярных интегралов таких как, например, интегралы с ядрами типа Коши, типа Гильберта и типа

где и - вектор функции, а некоторая матрица, если , то

этот интеграл является сингулярным.

С этой целью в этой работе мы пытались изучить этот вопрос на примере следующего интеграла.

где

Если

то интеграл (1) примет вид:

и

(2)

(3)

В последних интегралах приведем замену

после чего имеем

или

где - единичные окружности.

Рассмотрим теперь величины

из подынтегральных выражений (2) и (3).

Они являются ограниченными величинами, то есть можно показать, что

Кроме того, если одним и тем же законом и , то (5) и (6) стремятся к одному и тому же пределу .

Аналогичные рассуждения имеют места и относительно следующих величин:

и

Введя обозначения

из (4) имеем

Аналогичным путем получаем, что

где

Таким же образом можно установить связь между интегралами вида (7) и (8) и сингулярными интегралами с ядром Гильберта.

Литература:

1. Н.И.Мусхелишвили. Сингулярные интегральные уравнения. М., Физматгиз,1968.
2. Б.Г.Габдулхаев. Кубатурные формулы для многомерных сингулярных интегралов. Изв. Вузов, Математика, 1975, №4.