Оценка степени адаптации особого управления для автономных динамических систем

В статье рассматривается метод оценки степени особого управления для автономных динамических систем. Так как траектория динамических систем в общем случае является огибающей семейства параметрических поверхностей, то по степени деформации параметрической поверхности можно судить о степени адаптации управления. Такой подход в ряде случаев позволяет дать оценку достоверности используемой математической модели управляемого объекта и, следовательно, сферы ее практического использования.

Ключевые слова: оптимальное управление, адаптивное управление, особое управление, автономные динамическое системы, огибающие.

Введение

К настоящему времени существует достаточно разработанная общая теория оптимального управления, которая позволяет решить задачу «в принципе». Однако известно, что от общих воззрений до конкретного результата зачастую лежит достаточно большая дистанция, в том числе и в случае численного решения поставленной задачи. Причина заключается в проблемах устойчивого решения краевой задачи, «машинного нуля», вычислительной устойчивости используемых методов и т.д. Поэтому требуется искать подходы, основанные на иной интерпретации известных теорий. Один из таких основан на представлении траектории в фазовом пространстве как огибающей семейства параметрических поверхностей. Управление в этом случае ищется на указанном семействе как функция от некоторого параметра. Изменение параметра во времени отражает степень деформации параметрической поверхности. Если задаться ее определенной нормой, то по отклонению от нее можно судить о степени полноты используемой математической модели и, следовательно, о необходимости ее корректировки и, соответственно о необходимости синтеза управления в другой форме.

1. Постановка задачи

Рассмотрим автономную динамическую систему вида:

(1)

где: ‑ действительная переменная; ; ‑ открытое множество вещественной оси ; ; ‑ вектор состояния действительного ‑мерного пространства; и ‑ заданные вектор-функции; ; ‑ ‑мерный вектор управления; ; ‑ заданное множество допустимых управлений; .

Задан терминальный функционал:

(2)

определенный на решениях системы уравнений (1). ‑ некоторая функция; .

В момент могут быть заданы дополнительные условия вида

(3)

которые могут быть включены в функционал (2) через дополнительные множители Лагранжа.

Так как система уравнений (1) автономная, то множество допустимо сузить до отрезка , где ‑ начальное значение аргумента . Момент времени не фиксирован.

Значения полагаются известными.

Для построения управления, минимизирующего функционал (2), введем вектор-функцию множителей Лагранжа и составим гамильтониан задачи оптимизации :

(4)

С использованием функции в пространстве переменных , уравнения для и запишутся в следующей канонической форме:

(5)

Отметим, что и на оптимальном решении непрерывны и к этому же приводит аналог условия Эрдмана–Вейерштрасса классического вариационного исчисления. Непрерывность сохраняется и в том случае, когда правые части уравнений (1) терпят разрыв.

Для оптимального управления и фазовой траектории в рамках принципа максимума необходимо существование такого ненулевого вектора , что выполняются следующие условия [1, 2]:

1) Функция переменного при каждом , т.е. при фиксированных , достигает при минимума:

. (6)

Таким образом, оптимальное управление определяется как: