О количестве нулей уравнения y^IV±γq(t)=0

Пусть q(t)- кусочно-непрерывная, ограниченная, неотрицательная функция на отрезке a≤t≤b. Через N(γ) обозначим количество двукратных нулей нетривиального решения y(t;γ) уравнения

на отрезке a≤t≤b, то есть 

Справедлива следующая теорема:

Теорема: Имеет место соотношение:

где ω - первый положительный корень уравнения chωcosω=1.

Доказательство:

а) пусть γq(t)=k⁴=const,a≤t≤b. Тогда нетрудно заметить, что уравнение (1) имеет общее решение вида:

Обозначим через - две соседние двукратные нули решения y(t), т.е.



Далее положив  получим, что , т.е.

Пусть ω - первый положительный корень уравнения , где  .
Отсюда заключаем, что , т.е.  .

Тогда число нулей  уравнения (1) на отрезке  равно

Поэтому

б) пусть теперь  - ступенчатая функция. Отрезок  разбит на конечное число отрезков  и . Пусть  число двукратных нулей решения  уравнения (1) на отрезке  Тогда согласно пункту а) очевидно, что

с) пусть наконец,  -произвольная кусочно-непрерывная функция. Разобьём отрезок  на n равных частей и положив при  имеем:
, , 
Пусть  - решения уравнения (1) в котором вместо  стоит  Обозначим через  число двукратных нулей  корней на . Аналогичным образом определим . Тогда в силу теоремы сравнения Штурма, легко обнаружить, что
 
Согласно предыдущим пунктам а) и б) имеем:
,

Отсюда при  получим утверждение теоремы.

Литература:

1. В.В.Степанов. Курс дифференциальных уравнений. -М.:Наука.1959 г.
2. Л.С.Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.:Наука.1974 г.
3. Ю.Н.Бибиков. Общий курс дифференциальных уравнений. Изд.ЛГУ.,1981 г.