Некоторые дополнения к понятию иррациональное число

Иррациональным называется число, которое можно выразить в форме бесконечной непериодической десятичной дроби. Например, иррациональными являются числа , числа e, π, синусы многих рациональных величин, логарифмы целых чисел и т.д. В отличие иррационального числа, любое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби, которую также можно представить обыкновенной дробью , где и – целые числа, . Например, рациональные числа , .

Введем некоторые дополнения к понятию иррациональное число. Рассмотрим на примере. Уравнение имеет корни . Корни данного уравнения являются иррациональными числами, но каждое из данных иррациональных чисел представляет собой алгебраическую сумму собственно иррационального числа и рационального числа . Собственно иррациональную составляющую назовем чисто иррациональным числом, выражение назовем составным иррациональным числом.

Определение. Иррациональное число, которое нельзя представить в виде алгебраической суммы другого иррационального числа и рационального числа назовем чисто иррациональным числом. Иррациональное число, которое представлено в виде алгебраической суммы чисто иррационального числа и рационального числа назовем составным иррациональным числом.

Как уже отмечалось выше, – чисто иррациональное число, – составные иррациональные числа.

Подразделение иррациональных чисел на чисто иррациональные числа и составные иррациональные числа предлагается в математике впервые. Можно провести аналогию в терминологии с комплексными числами, где комплексные числа вида при называются мнимыми, числа вида называются чисто мнимыми.

Составное иррациональное число может быть задано в неявном виде, в этом случае возникает необходимость представить иррациональное число в виде суммы рационального и чисто иррационального чисел. Примеры такого вида есть в курсе алгебры 9-го класса и встречаются в заданиях ЕГЭ по математике. Рассмотрим один из алгоритмов решения подобного вида задач на примерах.

Пример 1. Предположим, что – составное иррациональное число. В таком случае представим его в виде , где – рациональная, – чисто иррациональная составляющая числа. Так как – чисто иррациональное, полагаем . Отсюда запишем , возведем выражение во вторую степень, получим . Сумма рациональных составляющих , чисто иррациональные составляющие равны . Решая полученные уравнения, находим , . В результате получаем .

Пример 2. Покажем, что – составное иррациональное число. Пусть , . Отсюда .

Сумма рациональных составляющих: , чисто иррациональная составляющая: . Решая полученные уравнения, находим , , окончательно запишем .

На основании введенного разделения иррациональных чисел на чисто иррациональные и составные иррациональные сформулируем некоторые очевидные свойства иррациональных чисел.

1. Алгебраическая сумма чисто иррациональных выражений не может быть равна рациональному числу, кроме числа ноль

Например, пусть , где , где и – целые числа, . Возведем выражение во вторую степень, получим . Получили противоречие – чисто иррациональное число представлено обыкновенной дробью, следовательно