Краевая задача для уравнения гиперболо-параболического типа четвертого порядка

Аннотация: Рассматривается краевая задача для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа четвертого порядка. В гиперболической части найдено решение в явном виде, а в параболической части решение уравнения выписывается с помощью функции Грина первой краевой задачи. В линии соприкосновения y=0 получено обыкновенная дифференциальная уравнения третьего порядка, решая которого получаем граничное условие устраняющее некорректность задачи.

Ключевые слова: Уравнения смешанного типа четвертого порядка; локальная краевая задача; линеаризованное уравнение Кортевега-де-Фриза; функция Грина.

В настоящее время теория краевых задач для уравнений смешанного типа высокого порядка является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Различные краевые задачи для уравнений смешанного типа высокого порядка исследовались в работах [1-3].

При изучении волн поперечного колебания стержня[4], [5, с. 277] или при колебании балки [6, с. 289] возникают различные уравнения четвертого порядка. На важность подобных исследований в теории уравнений смешанного типа указывал А.В. Бицадзе. В качестве модельного уравнения четвертого порядка им было предложено уравнение [7]:

В данной работе рассматривается уравнение

в конечной области D₂ — треугольник с вершинами

Определение. Регулярным решением уравнения (1) в области D назовем функцию удовлетворяющую уравнению (1).

Задача. Найти регулярное в области D решение уравнения (1), удовлетворяющее следующим краевым условиям:

где n — внутренняя нормаль; — заданные функции и выполняются условия согласования:

Уравнение (1) в области D₂ можно свести к системе уравнений

Из краевых условий (5) и (6) для Ф(x,y) получаем следующее:

Решение задачи Гурса (8), (9) для уравнения

имеет вид

Известно, что решение уравнения

представимо в виде:

— пока неизвестные функции, а

Используя условие (4), из (10) получим следующее соотношение между 

— известная функция.

В области D₁ переходя к пределу y → 0 в уравнении (1), получим соотношение между  в виде 

Решая систему уравнений (14) и (15) приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению

с граничными условиями

С помощью условий (17) уравнение (16) сводится к интегральному уравнению

где 

Обращая интегральное уравнение (18) используя условие (17) имеем

где

Далее рассмотрим уравнение (1) в параболической части.

Замена функции , где N = const в уравнении (1) при y > 0 приводит к следующему виду

Рассмотрим тождество

Проделав некоторые преобразования из (21) получим

Интегрируя (22) по области

и применяя, формулу Грина получаем

где  граница области 

Переходя к пределу при  перепишем последнее в виде

Учитывая однородность условий (2), (13) и (18) получаем следующее равенство в виде

Докажем сначала, что  если 

Общее решение соответствующего дифференциального уравнения (16) имеет вид

Подставляя однородные граничные условия в общее решение, получим систему алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных C₁, C₂ , C₃ в виде

Решая систему (25), находим . С учетом этого, выражение (23) примет вид

Число N выбираем так, что бы левая часть уравнения (26) стало больше либо равно нуля. Тогда при  следует, что 

Из этого следует, что исходная задача не может иметь более одного решения в области D₁ и соответственно в области D

Теперь перейдем непосредственно к нахождению решения в области D_1.

С помощью замены переменной

уравнение (1) в области D₁ можно свести к более известному уравнению

рассмотренное в монографии [8].

Литература

1. Елеев В.А. Краевые задачи для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа третьего порядка // Нелинейные эволюционные уравнения в прикладной задаче. Киев, 1991. С. 36 — 38
2. Елеев В.А. Об одной задаче с нелокальным сдвигом для уравнения смешанного типа третьего порядка // Материалы второго Международного Российско — Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик, 2011. С. 69 — 71.
3. Елеев В. А., Кумыкова С. К. Внутренекраевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2010. № 5. С. 5-14.
4. Виноградова М. В., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. М.: Наука, 1990. — 432с.
5. Релей Л. А. Теория звука. М.: ГИТТЛ, 1940. — 499с.
6. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: ГИФМЛ, 1959. — 440с.
7. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: АН СССР, 1959. — 164с.
8. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979. — 230с.